「じんきしせい」と読むそうです。講道館杯講道館柔道の創始者嘉納治五郎先生の言葉として、ある本に引用されていました。

『「盡」は「尽」の旧字で「つくす」。「己」は「おのれ」。「竢」は「し」と読み、「俟」の古字、「まつ」の意。「成」は「成る」。
「己を尽くして成るを待つ」という意味。「人事を尽くして天命を待つ(盡人事而待天命)」という言葉と似てるが、この言葉が受動的なのに対し、「盡己竢成」には「成すまで努力をし続ける」という能動的な決意が込められている。

(中略)

「己を尽くして成るを待つ」ということは、不断の努力を続けた先に、必ず目標は達成されるという意味が込められています。
 体を鍛え、心を鍛え、技を磨く。
 知識を付け、知恵と創造力を働かせ、感性を磨いて創造する。
 己を磨き続けた先に、必ず目的・目標の達成、成功が待っています。
 幸運の扉を開くということは、ただ何もせずに待っているのではなく、努力をし続けることが必要なのです。』

(岩崎由純著『読めば勇気・元気・やる気が出る本 元気の缶詰ペップトーク』より)

「己を尽くして成るを待つ」
「人事を尽くして天命を待つ」

いずれも、最善を尽くすことを意味しています。
厳しい、けれど、背筋の伸びる言葉です。